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## Streakline postprocessing design
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这份说明面向一个最小可实现的离线后处理程序。输入是按时间保存的二维速度场序列，输出是接近实验染色图的 streakline 图像。核心路线是连续释粒，因为 streakline 正是“固定位置持续释放染料后，在某个时刻所有已释放粒子的位置集合” [Lan96]。对非定常尾迹，这比单帧 streamline 更贴近实验图像 [Lan96]。
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搜索和全文阅读给出的信息已经足够支撑第一版实现。最直接的方案是按保存时刻连续注入粒子，用时空插值后的速度场推进粒子，再将粒子云渲染为图像 [Lan96, Ken96]。如果纯粒子结果过于尖锐，再在推进后加入一个很小的随机扩散项，作为对真实染色液扩散的近似。更完整的被动标量法当然更物理，但实现成本更高，不适合作为第一版 [Kim04]。
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## Core recommendation
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| 方法 | 与实验染色图的对应 | 实现复杂度 | 适合作为第一版 |
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|---|---|---:|---|
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| 单帧 streamline | 弱 | 很低 | 不推荐 |
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| 连续释粒 streakline | 强 | 低 | 最推荐 |
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| streakline 加少量扩散 | 很强 | 低到中 | 推荐作为第二步 |
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| 被动标量对流扩散 | 最强 | 中到高 | 暂不作为第一版 |
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最小可实现路线如下：
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- 从 CelerisLab 导出一串二维速度场快照 `u_x(x,y,t_k), u_y(x,y,t_k)`
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- 选定一个固定释放点或一小段释放线
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- 在每个保存时刻都注入新粒子
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- 在两个相邻快照之间，用时间插值和空间插值计算粒子速度
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- 用二阶或四阶时间积分推进粒子
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- 删去出域粒子与进入固体的粒子
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- 将当前时刻存活粒子按位置和年龄渲染成图像
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这个程序逻辑直接对应 [Lan96] 的 streakline 算法，插值与推进细节由 [Ken96] 和 [Dar96] 支撑。
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## Data contract
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默认输入是规则 Cartesian 网格上的二维时间序列速度场。对当前项目，最自然的输入约定是：
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| 名称 | 含义 |
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|---|---|
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| `t_k` | 第 `k` 个保存时刻 |
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| `ux[k, j, i]` | 时刻 `t_k` 的 x 方向速度 |
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| `uy[k, j, i]` | 时刻 `t_k` 的 y 方向速度 |
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| `mask[j, i]` | 可选，固体与流体标记 |
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| `x_i, y_j` | 网格坐标 |
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第一版最好满足下面三条：
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- 时间快照间隔固定或至少已知
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- 网格坐标固定不动
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- 固体几何位置已知，至少能判断粒子是否进入圆柱内部
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如果输出来自 CelerisLab，本质上只需要把每个保存时刻的 `ux, uy` 和对应时间写出来即可。算法本身是通用的，并不依赖 LBM 本身。
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## Mathematical model for the base streakline
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### Particle motion
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粒子位置满足拉格朗日运动方程 [Lan96]：
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\[
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\frac{d \boldsymbol{x}}{dt} = \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)
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\]
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其中
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\[
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\boldsymbol{x} = (x, y), \qquad \boldsymbol{u} = (u_x, u_y)
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\]
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积分形式为 [Lan96]：
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\[
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\boldsymbol{x}(t + \Delta t) = \boldsymbol{x}(t) + \int_t^{t+\Delta t} \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}(\tau), \tau) \, d\tau
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\]
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streakline 在观察时刻 \(t_n\) 的定义是：从固定释放位置 \(\boldsymbol{x}_s\) 在过去各时刻持续注入的粒子，在 \(t_n\) 时刻的全部位置集合 [Lan96]。
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### Time interpolation
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速度场只在离散时刻存储，所以必须做时间插值。对位于 \(t_k \le t \le t_{k+1}\) 的任意子步，最简单的做法是线性时间插值 [Ken96]：
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\[
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\delta = \frac{t - t_k}{t_{k+1} - t_k}
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\]
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\[
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\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t) = (1 - \delta) \, \boldsymbol{u}_k(\boldsymbol{x}) + \delta \, \boldsymbol{u}_{k+1}(\boldsymbol{x})
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\]
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这里 \(\boldsymbol{u}_k(\boldsymbol{x})\) 和 \(\boldsymbol{u}_{k+1}(\boldsymbol{x})\) 仍需通过空间插值得到。
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### Spatial interpolation
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在规则网格上，第一版直接用双线性插值即可。虽然 [Ken96] 讨论的是非结构网格上的点定位与线性插值，但其一般原则完全适用于规则网格：
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- 先定位粒子所在单元
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- 再用单元顶点速度插值得到粒子点速度 [Ken96]
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若粒子位于单元局部坐标 \((\xi, \eta) \in [0,1]^2\)，四个角点速度为 \(\boldsymbol{u}_{00}, \boldsymbol{u}_{10}, \boldsymbol{u}_{01}, \boldsymbol{u}_{11}\)，则
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\[
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\boldsymbol{u}(\xi, \eta) = (1-\xi)(1-\eta) \boldsymbol{u}_{00}
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+ \xi (1-\eta) \boldsymbol{u}_{10}
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+ (1-\xi)\eta \boldsymbol{u}_{01}
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+ \xi\eta \boldsymbol{u}_{11}
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\]
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## Time integration choice
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[Lan96] 和 [Ken96] 都直接使用四阶 Runge Kutta。对你的第一版程序，推荐两个选项：
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| 积分器 | 优点 | 缺点 | 建议 |
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|---|---|---|---|
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| RK2 | 简洁，容易调试 | 精度一般 | 最小原型可用 |
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| RK4 | 文献最一致，精度更稳 | 每步插值次数更多 | 默认推荐 |
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RK4 的更新式为 [Lan96, Ken96]：
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\[
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\boldsymbol{x}_{n+1} = \boldsymbol{x}_n + \frac{1}{6}(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} + 2\boldsymbol{c} + \boldsymbol{d})
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\]
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其中
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\[
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\boldsymbol{a} = \Delta t \, \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}_n, t_n)
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\]
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\[
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\boldsymbol{b} = \Delta t \, \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}_n + \tfrac{1}{2}\boldsymbol{a}, t_n + \tfrac{1}{2}\Delta t)
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\]
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\[
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\boldsymbol{c} = \Delta t \, \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}_n + \tfrac{1}{2}\boldsymbol{b}, t_n + \tfrac{1}{2}\Delta t)
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\]
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\[
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||
\boldsymbol{d} = \Delta t \, \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}_n + \boldsymbol{c}, t_n + \Delta t)
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||
\]
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[Ken96] 特别强调，RK4 的每一个子步都要重新做点定位与时空插值。这在规则网格上不难实现，只是意味着一次完整步进需要四次速度查询 [Ken96]。
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## Practical timestep guidance
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第一版不必上自适应步长，但步长不能随意设大。搜索里最重要的精度提醒来自 [Dar96]：
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- 非定常粒子积分的误差常常由时间离散控制，而不是概念本身
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- 合理步长必须不大于流动主要非定常时间尺度的同量级 [Dar96]
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- 若时间步过大，粒子轨迹会在拓扑上都出错，而不仅是位置略偏 [Dar96]
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对当前项目，最简单的工程准则是：
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\[
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\Delta t_{trace} \le \min \bigl(\alpha_t \, \Delta t_{save},\; \alpha_x \, \frac{\Delta x}{\max |u|} \bigr)
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\]
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其中 \(\Delta t_{save}\) 是两个保存快照之间的时间间隔，\(\Delta x\) 是网格尺度。第一版可取：
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- \(\alpha_t = 0.1 \sim 0.25\)
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- \(\alpha_x = 0.25 \sim 0.5\)
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这不是文献中的严格上界，而是结合 [Dar96] 的结论给出的实现准则：粒子推进子步既要显著小于保存间隔，也不要一子步跨过太多网格。
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[Ken96] 还给了一个很实用的自适应思路：根据相邻速度方向夹角调节步长。如果速度方向变化太快就减半，变化很小就加倍 [Ken96]。这很适合后续增强版，但不属于第一版必需项。
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## Base streakline algorithm
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### Release strategy
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最符合染色实验的是连续释粒 [Lan96]。第一版可用两种释放方式：
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| 方式 | 适用场景 | 建议 |
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|---|---|---|
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| 单点释放 | 针头式染料入口 | 最简单 |
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| 短线段释放 | 更像细缝或细带注入 | 更稳健 |
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如果实验是在圆柱上游某一点持续释放染色液，第一版就直接使用单点释放。
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### Particle state
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每个粒子只需保存：
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| 字段 | 含义 |
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|---|---|
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| `x, y` | 当前坐标 |
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| `t_birth` | 释放时刻 |
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| `age` | 当前年龄 |
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| `alive` | 是否仍在域内 |
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第一版不需要保存整条历史轨迹。因为你要的是当前时刻的 streakline 图，而不是每个粒子的 pathline 曲线。
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**常见误区（务必区分）**
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| 概念 | 画什么 | 是否等于水洞染色迹线 |
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|---|---|---|
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| **Streakline（迹线）** | 固定源点**持续释粒**，在观察时刻 \(t_n\) 画出**所有仍存活粒子的当前位置**（可带年龄衰减权重） | 是 |
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| **Pathline（迹线/轨道）** | 单个粒子从释放到当前的**整条历史轨迹** | 否 |
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| **错误实现** | 每隔一段时间放一个粒子，再把**所有粒子走过的路径段**全部叠加到图上 | 否（这是 pathline 叠加，不是 streakline） |
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水洞实验：针头在固定点连续注 dye → 某一时刻拍照 → 看到的是“此刻染料粒子在流场里的分布”，一条下游色带由**不同释放时刻、当前仍在本流场中的粒子**共同构成，而不是把每个粒子从出生到现在的轨迹都画出来。
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### Main loop pseudocode
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```text
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given velocity snapshots U[k] = {ux[k], uy[k]} at times t[k]
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given seeding point or seeding segment S
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initialize empty particle list P
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for k = 0 to N-2:
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inject new particles at source S at time t[k]
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set t_local = t[k]
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while t_local < t[k+1]:
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dt = min(dt_trace, t[k+1] - t_local)
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for each particle p in P with p.alive:
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v = interpolate_velocity(p.position, t_local)
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advance p by one integration step using RK2 or RK4
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update p.age
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if p leaves domain:
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p.alive = false
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if p enters solid body:
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p.alive = false
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t_local = t_local + dt
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optionally remove very old particles
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optionally render current particle cloud
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```
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这个结构与 [Lan96] 的离散 streakline 算法一致，只是把“从 `t_k` 到 `t_{k+1}` 的一次推进”细化成多个更小的粒子子步，以满足 [Dar96] 对精度的要求。
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### Velocity query pseudocode
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```text
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function interpolate_velocity(position x, time t):
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find k such that t[k] <= t <= t[k+1]
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compute delta = (t - t[k]) / (t[k+1] - t[k])
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u_k = bilinear_interpolation(U[k], x)
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u_k1 = bilinear_interpolation(U[k+1], x)
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return (1 - delta) * u_k + delta * u_k1
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```
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这是第一版最核心的数值部件。只要这部分实现正确，streakline 程序主体就很直接。
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## Small diffusion particle model
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当纯 streakline 太细、太锐利、不像染色液图像时，可以给每个粒子加一个很小的随机扩散项。这不是严格的被动标量求解，但能以很低代价增加染色带宽度。
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### Guiding idea
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[Kim04] 表明，染料图像更接近一个被动标量浓度场，其基本控制方程是对流扩散方程：
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\[
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\frac{\partial c}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla c = D \nabla^2 c
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\]
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其中 \(c\) 是染料浓度，\(D\) 是扩散系数。对第一版粒子法，一个常见近似是将每个粒子的位置更新写成“对流加随机扩散”：
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\[
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\boldsymbol{x}_{n+1} = \boldsymbol{x}_n + \Delta \boldsymbol{x}_{adv} + \Delta \boldsymbol{x}_{diff}
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\]
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其中 \(\Delta \boldsymbol{x}_{adv}\) 由 RK2 或 RK4 给出，扩散项取二维各向同性随机增量：
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\[
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\Delta \boldsymbol{x}_{diff} = \sqrt{2 D \Delta t}
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\begin{bmatrix}
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\eta_x \\
|
||
\eta_y
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\]
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这里 \(\eta_x, \eta_y \sim \mathcal{N}(0,1)\)。
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这个形式本身是对扩散过程的标准随机游走近似。搜索结果提醒，随机游走模型如果处理不当会产生假漂移与错误浓度偏置 [Mac92]。因此第一版的使用原则应当很克制：
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- 只用于加入少量模糊和厚度
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- 不把粒子密度当成严格浓度
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- 不在强近壁统计上过度解读结果
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### Diffusive particle update pseudocode
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```text
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for each particle p in P with p.alive:
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x_adv = RK4_step(p.position, t_local, dt)
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sigma = sqrt(2 * D * dt)
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dx_rand = sigma * normal(0, 1)
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dy_rand = sigma * normal(0, 1)
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x_new = x_adv + [dx_rand, dy_rand]
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if x_new leaves domain:
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p.alive = false
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else if x_new enters solid:
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p.alive = false
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else:
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p.position = x_new
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p.age += dt
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```
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### Choosing the diffusion level
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第一版不必试图从真实染料物性严格标定 \(D\)。更实用的做法是把 \(D\) 当作视觉匹配参数，并保持它足够小，使图像结构仍主要由对流控制。
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[Kim04] 用 Schmidt 数控制扩散强弱。若已有参考速度 \(U\) 和长度尺度 \(L\)，则
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\[
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Sc = \frac{\nu}{D}
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\]
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也可写成
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\[
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D = \frac{\nu}{Sc}
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\]
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对第一版，可以用下面的思路选扩散强度：
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| 目标效果 | 建议 |
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|---|---|
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| 只想让线条略微变厚 | 取较大 `Sc`，即很小的 `D` |
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| 想模拟明显洗开和模糊 | 取较小 `Sc`，即较大的 `D` |
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| 不确定 | 先从几乎看不出的弱扩散开始 |
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因为当前目标是“少量扩散”，所以推荐先把扩散当成弱修饰，而不是主导机制。
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## Rendering logic
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最终图像不需要把每个粒子的完整轨迹都画出来。更像实验染色图的做法是把当前存活粒子投影到图像网格上，生成粒子密度图或带年龄权重的强度图。
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### Minimal rendering choices
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| 方法 | 图像风格 | 实现难度 |
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|---|---|---:|
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| 直接散点 | 最简陋 | 很低 |
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| 网格计数直方图 | 像浓度图 | 低 |
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| 高斯核累积 | 更平滑 | 低到中 |
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第一版推荐：
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- 把每个粒子投到像素网格
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- 对像素做计数或加权累积
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- 最后做一次轻微 Gaussian blur
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这与先做完整被动标量相比便宜很多，但视觉上已经会很接近实验染色图。
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### Optional particle weighting
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可以给粒子一个简单权重：
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\[
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I = \sum_p w_p K(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_p)
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\]
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其中 \(K\) 是像素核或 Gaussian 核。第一版里，权重 \(w_p\) 可直接取 1，也可对年龄做衰减，例如：
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\[
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w_p = \exp\left(- \frac{\mathrm{age}_p}{\tau_f} \right)
|
||
\]
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这样旧粒子会逐渐淡出，图像不会无限堆积。
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## Boundary handling
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这部分先按最小原则处理即可。
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| 情况 | 第一版处理 |
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|---|---|
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| 粒子出计算域 | 直接删除 |
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| 粒子进入圆柱内部 | 直接删除 |
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| 粒子贴近边界滑动 | 暂不专门处理 |
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| 扩散后跨入固体 | 直接删除 |
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这样做的优点是简单稳妥。后续若发现近壁 streakline 误差明显，再考虑反射、投影或更物理的壁面处理。
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## Minimal implementation plan
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### Version 1
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目标是尽快得到可信的 streakline 图：
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- 读取 `ux, uy, t`
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- 单点连续释粒
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- 双线性空间插值
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- 线性时间插值
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- RK4 粒子推进
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- 出域删除与入固体删除
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- 粒子计数成图
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### Version 2
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在不改变主体架构的前提下增强视觉效果：
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- 增加短线段释放
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- 增加年龄衰减
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- 增加弱随机扩散
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- 用 Gaussian 核代替简单计数
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### Version 3
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若后续发现实验图像明显受扩散与混合主导，再转向更重的模型：
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- 被动标量对流扩散
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- 用 \(Sc\) 或 \(D\) 做参数标定 [Kim04]
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## Design decisions that are already justified by the literature
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下面这些设计已经有足够文献支撑，可以直接采用：
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- 用 streakline 而不是 streamline 对应持续染色实验 [Lan96]
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||
- 用连续释放粒子离线重构 streakline [Lan96]
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||
- 用时空插值从离散速度快照查询粒子速度 [Ken96]
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||
- 用 RK4 作为默认推进器 [Lan96, Ken96]
|
||
- 把步长取得明显小于保存时间间隔，并避免一次跨过太多网格 [Dar96]
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||
- 若需要更像染料图，可以加入弱扩散，或后续上升到被动标量 [Kim04]
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## Recommended default choices
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| 项目 | 默认选择 |
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|---|---|
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| 释放方式 | 单点连续释粒 |
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| 空间插值 | 双线性 |
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| 时间插值 | 线性 |
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| 积分器 | RK4 |
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| 粒子子步 | 保存步长的 0.1 到 0.25 |
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||
| 固体处理 | 入固体即删除 |
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| 输出图像 | 粒子密度图加轻微模糊 |
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||
| 扩散 | 默认关闭，作为第二步 |
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## Bottom line
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对当前项目，最简洁且足够准确的程序逻辑不是去解新的染料场，而是先做一个离线连续释粒 streakline 后处理器。它只依赖时间序列速度场，程序结构清楚，数值风险也集中在可控的几个环节：时空插值、积分步长和边界删除 [Lan96, Dar96, Ken96]。在此基础上，再增加一个弱随机扩散项，就能以很小代价把图像从“几何上正确的粒子线”推进到“更像实验染色照片”的粒子云 [Kim04]。
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## CelerisLab implementation mapping
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Current implementation lives in:
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- library: `src/CelerisLab/common/streakline.py`
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- Kan99b demo CLI: `tests/run_kan99b_streakline.py`
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- experiment notebook: `tests/experiment.ipynb` (CLEAN 5/6)
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Available runtime modes:
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- `online`: sample `Simulation.get_macroscopic()` directly in memory (no velocity snapshot files).
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- `offline`: replay from an existing snapshot directory and run the same streakline integrator.
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Dense release support:
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- base upstream points are expanded by `release_mode` (`point|line|strip`).
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- `strip` mode densifies both cross-stream (`line_count`, `line_span`) and downstream (`downstream_count`, `downstream_spacing`) directions.
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||
### Performance notes (why it can feel slow)
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Streakline post-processing is **CPU-side** in the current stack:
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1. **GPU→host velocity copies** dominate for large grids (`nx=6000, ny=1200`). Each `get_macroscopic()` pulls full `ux/uy` arrays.
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2. Particle RK4 + bilinear interpolation runs in NumPy on CPU (vectorized over particles, not GPU).
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||
3. Rendering accumulates polylines into an image (optionally multi-threaded via `ThreadPoolExecutor`).
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||
Practical tuning:
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|
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| knob | effect |
|
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|---|---|
|
||
| `sample_every` | larger → fewer host copies, faster, coarser streaks |
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| `max_particle_age` | `None` → no hard cutoff; trails survive until boundary/solid |
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| `num_threads` | `0` = auto; sets OpenBLAS/OMP threads for blur/host ops |
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| `blur_sigma` | `0` disables Gaussian blur pass |
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For `experiment.ipynb` triangle case, use **`render_streakline_density(..., minimal_axes=True)`** on the **final alive particle cloud** (`positions`, `ages`). Do **not** accumulate and draw full path history (`render_snapshot_trails` is pathline-style debug only).
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### Clean render style (experiment)
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`render_snapshot_trails` defaults:
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- white background
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- red streaks, brighter toward the downstream end (`fade_along_trail=True`)
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- black filled cylinders
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- no axes, labels, colorbar, or release-point markers
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Example commands:
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```bash
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# Online in-memory streakline (no snapshot write)
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conda run -n pycuda_3_10 python tests/run_kan99b_streakline.py \
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--mode online --domain M --re 100 --alpha 1.0 \
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--sample-every 300 --n-snapshots 20 \
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--release-mode strip --line-count 7 --downstream-count 6
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# Offline replay from existing velocity snapshots
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conda run -n pycuda_3_10 python tests/run_kan99b_streakline.py \
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--mode offline \
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--snapshot-dir tests/output/final_validation_round/streakline_kan99b_k2/velocity_snapshots \
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--release-mode strip --line-count 7 --downstream-count 6
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``` |